Μια καλή προσέγγιση για την επίλυση ενός προβλήματος που μοιάζει αρκετά σύνθετο, είναι να σκεφτούμε ένα παρεμφερές απλούστερο.

Εν προκειμένω ας υποθέσουμε ότι μόνο μία μαθηματικός φορούσε λευκό καπέλο. Τι γινόταν μέσα στο δωμάτιο. Όλοι οι άλλοι την έβλεπαν, αλλά δεν μπορούσαν να την ειδοποιήσουν. Όλοι έβλεπαν ένα λευκό καπέλο. Όλοι;

Εκτός από εκείνη που το φορούσε. Έβλεπε κάτι παράξενο: Κανείς δεν φορούσε λευκό καπέλο. Όλοι μαύρα; Μα πώς γίνεται; Είτε ο βασιλιάς είπε ψέμματα-πράγμα απίθανο γιατί οι βασιλιάδες λένε πάντα την αλήθεια-, είτε φορούσε η ίδια λευκό καπέλο και γι’ αυτό δεν το έβλεπε. Έτσι, λοιπόν, στην περίπτωση ενός και μόνο λευκού καπέλου, βγαίνει αυτός που το φοράει στην πρώτη κιόλας ώρα και το παιχνίδι τελειώνει με μια εύκολη νίκη.

Ναι, αλλά αν ήταν δύο;

Ας προσπαθήσουμε να διαβάσουμε τη σκέψη των μαθηματικών που ήταν στο δωμάτιο. Αυτός που φοράει λευκό καπέλο, βλέπει ότι μέσα στην αίθουσα υπάρχει ένα λευκό καπέλο. Το ίδιο και η δεύτερη που φοράει λευκό. Βλέπει ένα λευκό. Όλοι οι άλλοι βλέπουν δύο. Ας δούμε τι γίνεται.

Το γκονγκ χτυπάει και ο βασιλιάς εμφανίζεται. Κανείς δεν κινείται. Ο βασιλιάς φεύγει. Έχουν μια ώρα να σκεφτούν τι έγινε.

Σκέφτεται αυτός που φορούσε λευκό καπέλο. Γιατί δεν βγήκε αυτή που φορούσε λευκό καπέλο; Αφόυ μόνη της είναι. Δεν είδε ότι όλοι οι άλλοι φοράμε μαύρα; Ουπς! Και που ξέρω ότι φοράω μαύρο; Άρα, γι αυτό δεν βγήκε. Είδε το δικό μου άσπρο καπέλο και νόμισε ότι είναι το μόνο.

Φυσικά τα ίδια σκέφτηκε και η άλλη.

Οπότε τη δεύτερη ώρα που έρχεται ο βασιλιάς, εμφανίζονται και οι δύο μπροστά του και του λένε με σιγουριά ότι φορούν λευκά καπέλα.

Εντάξει, με δύο γίνεται. Αλλά αν ήταν τρεις; Τελικά είναι το ίδιο ακριβώς. Το κλειδί είναι ότι αυτός που φοράει λευκό καπέλο βλέπει ένα λευκό καπέλο λιγότερο από όσα «θα έπρεπε» να είναι. Ας παρακολουθήσουμε την εξέλιξη του παιχνιδιού με τρια λευκά καπέλα.

Την πρώτη ώρα τα είπαμε δεν βγαίνει κανείς.

Την δεύτερη ώρα το ίδιο. Αυτοί όμως που φορούν λευκά καπέλα παραξενεύονται. Υπάρχουν δύο λευκά. Έπρεπε να έχουν βγει. Γιατί δεν βγήκαν; Γιατί δεν είναι δύο, είναι τρια. Αλλά εγώ γιατί βλέπω δύο; Ωπ! Αυτό είναι! Φοράω κι εγώ λευκό.

Έτσι, την τρίτη ώρα βγαίνουν και τρεις με τα λευκά καπέλα. Αυτή είναι η απάντηση. Αν υπάρχουν τρία λευκά καπέλα, απαιτούνται τρεις ώρες για να λυθεί ο γρίφος.

Εύκολα γενικεύεται, ώστα να καταλήξουμε ότι αν ήταν εννιά τα λευκά καπέλα θα απαιτούνταν εννιά ώρες μέχρι να το αντιληφθούν οι παίκτες.

Ας το δούμε επαγωγικά. Έστω n o αριθμός των λευκών καπέλων. Ανήκει στο σύνολο  Ν* των φυσικών αριθμών χωρίς το μηδέν. Ν*={1,2,3,4,5,…}

Για n=1, το λύσαμε. Με το σκεπτικό που αναπτύξαμε παραπάνω σε μια ώρα έχει τελειώσει.

Για n=2 το ίδιο, σε δύο ώρες και για n=3 το ίδιο, σε τρεις ώρες.

Έστω ότι με την ίδια λογική το έχουν λύσει για n=k, όπου k φυσικός μεγαλύτερος ή ισος του 1.

Εξετάζουμε την περίπτωση που n=k+1

Όσοι φορούν μαύρα καπέλα, βλέπουν ότι υπάρχουν k+1 και περιμένουν. Όμως εκείνοι που φορούν λευκά καπέλα, βλέπουν k καπέλα και σκέπτονται : Αν ήταν όλα τα καπέλα k τότε θα είχαν βγει την προηγούμενη ώρα. Άρα δεν είναι, αλλά υπάρχει ένα ακόμα. Το δικό μου. Έτσι την k+1-στή ώρα βγαίνουν όλοι.